Лекция 8. От феноменологии к теории. Четыре доказательства одной формулы

(Почему-то не записалась доска) Лекция посвящена обсуждению общего подхода обоснования формул решения уравнений с частными производными. На примере уравнения u_{tt}=u_{xx}+f(t,x) происходит переход от метода "продифференцировать и подставить" к методу Римана. Сначала вводится идея получения формулы интегрированием исходного уравнения, потом это доказательство существенно упрощается введением формул Гаусса-Остроградского, затем выясняется природа феномена превращения нормальной компоненты векторного поля из производных функции u в полный дифференциал вдоль границы (что связано со введением понятия характеристики) и, наконец, переход к общему методу Римана, когда уравнение сначала умножается на неизвестную пока функцию, затем интегрируется по области, ограниченной характеристиками и линиями, на которых заданы начальные данные, потом этот интеграл с помощью уже формул Грина преобразуется в интегралы по границе области, которые, после интегрирования по частям, дают искомую формулу. При этом мы вводим на ту функцию, которая изначально была неизвестной, ряд условий, которые позволяют, с одной стороны, избавиться от неизвестных слагаемых в полученной формуле, а с другой -- получить уравнение и условия, позволяющие однозначно определить эту изначально неизвестную функцию.